奇妙な数学基礎論が音楽にされる
クルト・ゲーデルの「不完全性定理」にインスパイアされた作曲が彼の名前を掲げる授賞式で初演される
Philip Ball, 03 July 2014

オーストリア生まれのクルト・ゲーデルは1931年に算術大系が自己無矛盾性を証明できないことを発見して研究者たちに衝撃を与えた。


今年のゲーデル賞（計算機科学者にとって最大の栄誉）はその名前にふさわしい伴奏が演じられる。7月9日にコペンハーゲンで開かれる授賞式で、クルト・ゲーデルが作った論理的公理をエンコードするよう依頼された楽曲が流れる。クルト・ゲーデルは賞の名前の由来となったオーストリア生まれの数学者だ。

「ヒルベルト・ハートブレイク・ホテル」と題された曲はデンマークの作曲家、ニールス・マルティンセン（Niels Marthinsen）によるもので、ルンド大学（スウェーデン）のコンピュータ科学者、トーレ・フシュフェルト（Thore Husfeldt）の考案だ。「芸術と科学の分裂が大きくなっていることにフラストレーションを感じていたんだと思う」とフシュフェルトは話した。「それはいくつかの文化を合わせる試みでとても楽しかった」

フシュフェルトによると、コンピュータ科学者になった理由の一つは彼が十代の頃に『ゲーデル、エッシャー、バッハ』（Godel, Escher, Bach）を読んだことだという。
認知科学者、ダグラス・ホフスタッター（Douglas Hofstadter）の手によるこの本は、ゲーデルの理論、ヨハン・セバスティアン・バッハ（Johann Sebastian Bach）の音楽構造、そして19世紀のオランダの画家Ｍ・Ｃ・エッシャー（M.C. Escher）による入り組んだ幾何学模様のあいだにある相似を描き出したものだ。

マルティンセンはデンマークの作曲家、ペア・ノアゴー（Per Norgard）の学生だった。
ノアゴーは1960年代に数学を用いた作曲を探求し、たとえばフラクタル様の自己相似の性質を持った音の列を使った作曲をした。

したがってマルティンセンにこの曲を依頼するのは自然な選択だった。「彼はこう話していた。『これは完全に狂気じみていて私には時間がないが、とうぜん我々がそれをやらなくてはいけない』」とフシュフェルトは回想した。「そこから、このパズルはうまくいった」

ヒルベルト・ハートブレイク・ホテル。トーレ・フシュフェルトとニールス・マルティンセンがこの音楽作業の成果について議論する。（動画）



◆論理的出発点

「ヒルベルト・ハートブレイク・ホテル」が基礎としているのは19世紀後半のイタリアの数学者、ジュゼッペ・ペアノ（Giuseppe Peano）が提唱した自然数の公理系だ。この公理系は算術および数論を形式的、論理的な基盤の上に築く試みで、その出発点は次のようないくつかの自明に思われる主張だ。「すべての自然数 x について、x = x」、「x = y なら y = x」。

ペアノの公理は記号論理学の記法で表現でき、そこから全ての基本的な算術演算（乗算など）が導かれる。1900年にドイツの数学者、ダーフィト・ヒルベルト（David Hilbert）はこれらの公理の一貫性の証明が、数学の重用な未解決問題の一つであることに気づいた。
公理が互いに矛盾していたら、数学体系全体（微積分学やゲーム理論などの広い範囲の分野を含む）が揺らぐことになる。
（>>2以降につづく）

ソース：Nature News（03 July 2014）
Enigmatic foundations of maths put to music
http://www.nature.com/news/enigmatic-foundations-of-maths-put-to-music-1.15502

ゲーデル賞受賞研究：Journal of Computer and System Sciences
Ronald Fagin, Amnon Lotem, Moni Naor. Optimal aggregation algorithms for middleware.
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022000003000266