http://www.4gamer.net/games/999/G999905/20160305003/

スマートフォン向けゲームに欠かせない存在となっている「ガチャ」。お目当てのキャラやアイテムを引き当てたときの 嬉しさは格別だし，結構な額のリアルマネーを使ったあげく，ハズレばかりだったときの悔しさもまたかなりのものだ。

　すべては運にかかっているので，プレイヤーが頼りにできるデータといえば，公開されている出現確率ぐらいだろう。 以前はその確率が公開されていないゲームが多かったが，最近は業界として確率表示を進める動きが強まっており， 人気タイトルの「グランブルーファンタジー」でも，本日（2016年3月10日）から装備品個別の出現確率が表記されるようになる。

　だが，確率が明らかになったところで，それを正しく理解できなければ意味がない。よくある間違いが ，「出現確率1％なら，100回ガチャを引けばほぼ確実に出るだろう」という思い込みだ。実際のところ， ガチャを100回引いて出現確率1％のものが当たる確率は約63％でしかない。表現を変えれば，100人のプレイヤーがそれぞれ 100回引くと，63人は当たるが，残り37人は100回全部ハズレ，という感じだ。

　一見するととても不思議に思えるかもしれないが，この“カラクリ”を理解していないと，確率を多めに見積もって 予算をオーバーしてしまったり，それほど運が悪いわけでもないのに「なぜこれだけ引いても出ない！」 とストレスを溜めることになってしまう。本稿では，できるだけ分かりやすく確率の話を解説するので，じっくり読み進めてほしい。

まずは現実のカプセルトイとスマホガチャの違いを知る
（中略）

1％を100回引いても100％にならないことを検証してみる
　さて，ここまでの説明で、スマホゲームで「出現確率1％のガチャを100回まわせば，ほぼ確実に出る」と考えるのは間違い， となんとなく分かっても，本当の確率である「約63％」については「本当にそれしかないの？」と思っている人は多いだろう。 　もちろん本稿で確率の計算方法は説明するが，その前に，計算式なしでも“実感”できる身近な例を紹介しておきたい。

　最初はコイントスだ。空中にコインを投げ，裏と表のどちらが出るのかを当てるものなので，確率は1/2（50％）。 ではこのコイントスを2回行ない，表が1回以上出る確率はどれくらいだろうか。ここまで読んだうえで「確率50％を2回だから100％だ！」 と思う人はそういないだろうが，実際の数字を確認するために，コインを2回投げたときの全パターンを書き出してみよう。 青く塗られているのが表が出るパターン，グレーは出ないパターンだ。
　このように，全4パターンのうち，表が出ないのは裏・裏のときのみ。表が1回以上出る確率は3/4，つまり75％となる。

　次はもう少し数を増やし，ジャンケンで考えてみよう。自分が3回勝負でパーを出し続け，1回以上勝てる相手のパターンを出してみる。 グー，チョキ，パーのうち，パーが勝てるのはグーだけなので，勝てる確率1/3の勝負を3回やるということだ。 出現確率1％のガチャを100回引いても，4割近くの人は全部はずれる。“本当の確率”を読み解いてみよう 　全27パターンのうち，1回以上勝つのは19パターン。確率でいえば約70％となる。

　しつこいようだが，もうひとつの例を挙げよう。今度はABCDの選択肢がある4択問題4問で，すべての解答欄にAを入れた場合， 0点を逃れる確率だ。1/4を4回ということになる。
出現確率1％のガチャを100回引いても，4割近くの人は全部はずれる。“本当の確率”を読み解いてみよう

　数えるのが大変になってきたが，全256パターン中，正解があるのは175パターン。確率でいえば，約68％となる。 　さて，気づいた人もいるかもしれないが，この例はすべて「1/nをn回引いた場合」のもので，nが増えるに従い， 求められる確率が75％→約70％→約68％」と下がってきている。「1/100ガチャを100回引いた場合」の全パターンを 書き出すことはさすがにしないが，約63％になることは分かってもらえるのではないだろうか。

気になる「約63％」の数字はどうやって求める？

　では数式から確率を求める方法を説明しよう。
　もちろん最終的に求めるのは「出現確率1％のガチャを100回引いたとき，当たりが出る確率」だが， ここでは100回すべて外れる確率をまず出して，それを全体（100％）から引く，という方法を取ることにした。式で表してみると，

当たりの確率＝全体-ハズレの確率
となる。もちろん素直に当たりの確率を求める方法もあるのだが，その場合は計算式がかなりややこしくなることから， 今回はこの方法を取っている。当然ながら計算結果はどちらの方法でも同じだ。
　さて，出現確率1％のガチャを100回すべて外す確率は，1回引いて外れる確率（99％）を100回かければいい。つまり0.99の100乗を計算する。

（0.99）100≒0.366
この数字を全体から引いてみよう。

1-0.366＝0.634
となるので，冒頭の「約63％」が正しい数値であることが証明できた。

「確率2倍アップ」でどれくらい当たりが出るのか
　少し違った条件での計算もしてみよう。
　ゲーム内イベントでよくみかける「確率2倍アップ」は，字面だけを見ればものすごく当たりそうな気がするが，実際のところはどうなのだろうか。 　計算してみると，1回引いて当たる確率の1％が2倍になって2％，つまりハズレが98％になるだけなので，

1-（0.98）100＝0.867
となる。約87％とかなり上がってはいるものの，100回まわした人の1割以上が全部ハズレ，という計算だ。

何回引けばお目当てのキャラが手に入るのか？
　ここで，ガチャ回数からの確率ではなく，手に入る人の割合から必要な回数を計算してみよう。
当たりの確率を1％とし，50％の人がアタリを引くのに必要なガチャ回数（x）を計算してみると，

ハズレの確率 ＜50％
つまり，
（0.99）x ＜ 0.5
という式になる。このxを求める式は，対数計算という難解なものになるので割愛するが（Windowsに搭載されている 「電卓」を使う計算方法を後述する）求められるxの最小値は69。仮に1回300円とすれば，2万700円ほど突っ込んで， やっと半分の人が当たりを引けるという計算になるわけだ。
　では当たりの確率を0.3％にして計算してみよう。なぜ0.3％にするかの理由は，いろいろとお察しいただきたいが，この場合，

（0.997）x ＜ 0.5
という式になり，これを満たすxの最小値は231。1回300円とすれば，6万9300円ぶんのガチャを引いて，半分の人が当たるだけということになる。 　もう少し現実的な金額での計算もしてみよう。 ガチャの値段を1回300円とし，5000円ぶん（16回，実際にかかる金額は4800円）回したときを考えてみると，アタリの出る確率を0.3％とすれば，

1-(0.997)16≒1-0.953=0.047
となる。
　つまり5000円使った人のうち，当たりを引けるのは5％もいないわけだ。金額を増やし，5万円にしたところで約39％，10万円で約63％ ，20万円まで頑張ってようやく約86％だ。
　今回はガチャの出現確率を1％や0.3％として計算してみたが，実際には0.3％以下の確率が表示されているゲームもあるようなので， 「10万円以上つぎ込んでも目当てのキャラがでない」という話が珍しくないというのも，うなづけるだろう。
　この記事を読んで，多くの人は「思ったよりも出ない」と感じたのではないだろうか。熱くなってガチャを引きまくる前に， ちょっと計算して冷静になってみてほしいが，もちろんこれはあくまで確率の話。0.3％を1回で引き当てる幸運な人もいるはずで， それが確率というものの面白さ，そしてガチャの魅力なのかもしれない。