まとめたニュース : 無限ホテルのパラドックスが意味がわからん

2017年08月06日

無限ホテルのパラドックスが意味がわからん

1 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:15:17.181 ID:2omcWIV00.net

無限の部屋があるホテルに、無限の客が泊まって満室の状態で
1人泊まりにきました。
既に泊まっている全員に隣の部屋に移動してもらうことで、
その人は泊まることが可能になりました

数学者って頭の良いバカなの？
もう意味不明なんだけど

転載元スレッド：http://viper.2ch.sc/test/read.cgi/news4vip/1501992917/

2 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:16:13.550 ID:OkBhAyNO0.net
隣に移ってもらううちに何か月も何年も掛かってるから、そのうちに誰かチェックアウトしたんだろう

3 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:16:42.296 ID:k15Y2p4l0.net
平屋かよ

4 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:17:02.903 ID:/XU7KouEa.net
前提がおかしいとこないだのスレで理解した

5 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします[sage] ：2017/08/06(日) 13:18:11.455 ID:uWCFvzaza.net
パラドックスっていうのは前提が間違ってることの総称だよ

6 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:19:34.018 ID:/XU7KouEa.net
>>5
なるほどな

7 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:20:32.659 ID:qS6wTCFXa.net
>>6
騙されるな

9 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:23:19.423 ID:/XU7KouEa.net
>>7
ポイントはあってるじゃん

11 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:25:09.597 ID:2omcWIV00.net
>>5
これは無限の説明であって
前提はあくまでその説明の為のものだから
前提間違ってるけど、答えはあってるってこと？

8 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:23:13.330 ID:T0bua2hz0.net

10 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:24:46.371 ID:EMoTrVcF0.net
無限の部屋があるホテルに、無限の客が泊まって満室←これが間違いな

13 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:29:58.196 ID:/XU7KouEa.net
>>10
そうそう無限に部屋があるホテルは満室にならない

14 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:31:25.632 ID:TrBfsxUx0.net
>>13
でも客も無限にいるんだよ？
そもそも無限と無限+1って何が違うのアホなの

15 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:32:16.946 ID:2omcWIV00.net
>>13
ここでいうパラドックスは
満室なのに1人泊まれてしまう
っていうものだから
満室なのは曲げちゃいけないんじゃね？

16 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:33:59.151 ID:/XU7KouEa.net
>>14
∞＋1＝∞ だが

>>15
無限はそもそも満たされない

21 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:37:20.062 ID:2omcWIV00.net
>>16
それだと
常に満室じゃないから
1人追加で泊まることは普通に可能だから
パラドックスじゃなくて
ただの前提が間違っただけの文になっちゃうんじゃない？
そういうのとはものが違う気がするんだけど

24 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:39:57.565 ID:/XU7KouEa.net
>>21
有限の集合で使える概念が無限の集合には適用されないねって話だよ

27 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:43:35.414 ID:2omcWIV00.net
>>24
つまりこのパラドックスは
満室は無限では使えないことを説明してる問題ってこと？
それって証明であって、パラドックスになるの？
パラドックスの定義がいまいちわからんから、
なんとも言えないんだけど

30 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:47:41.646 ID:/XU7KouEa.net
>>27
ぎゃく‐せつ【逆説】

１一見、真理にそむいているようにみえて、実は一面の真理を言い表している表現。「急がば回れ」など。パラドックス。
２ある命題から正しい推論によって導き出されているようにみえながら、結論で矛盾をはらむ命題。逆理。パラドックス。
３事実に反する結論であるにもかかわらず、それを導く論理的過程のうちに、その結論に反対する論拠を容易に示しがたい論法。ゼノンの逆説が有名。逆理。パラドックス。

今回は2の意味のパラドックス

31 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:50:19.193 ID:1gEoDH4mM.net
>>30
違うぞ
数学的には証明できる
結論に矛盾はない

32 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:52:29.157 ID:ccyAw6wN0.net
>>30
この場合は１じゃないかな

33 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:52:49.206 ID:/XU7KouEa.net
>>31
命題と結論が矛盾してる事を証明したって表現でいいかな

35 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:53:51.163 ID:/XU7KouEa.net
>>32
1になるんかな
そもそも命題が矛盾なんだけどそこはどうなん

12 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:28:58.957 ID:1gEoDH4mM.net
A={a0,a1,……}なる集合はNと対等
ここでA∪{a}なる集合を定義域、Aを値域とする写像fに対して
f(an)=a[n+1]
f(a)=a0
と定めればfは全単射
したがって対等の推移性からA∪{a}もまたNと対等

17 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:34:26.157 ID:2omcWIV00.net
>>12
俺の数学力は中学生にも劣るんだぜぇ？
全然わからねぇ

26 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:41:29.254 ID:1gEoDH4mM.net
>>17
集合っていうのは物の集まりで、例えば何が集まってるかというのが集合の要素
例えばaとbが要素のときは、{a,b}という、{}って箱の中にa,bが入ってる感じ
写像っていうのは集合の要素の間の関係
例えば{a,b}と{1,2}の関係を、1とaに関係があるとしたいならf(1)=aという形で表す

集合が対等っていうのは、集合と集合の間に全単射写像が存在すること
全単射写像は要素と要素の関係に漏れがないということ
{1,2,3}と{a,b}では写像を探しても1個あまりそうな気がするじゃんこれは対等にはならない
このなかで、{1,2,……}と無限人をa0,a1,……と名付けた場合の{a0,a1,……}、ここに一人aさんを追加した{a,a0,a1,……}が全部対等、つまり漏れがないように割り振れるってこと

34 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:53:07.165 ID:2omcWIV00.net
>>26
なんとなーく掴めた気がする
1,2のあとには無限に続いてて、
それに対応するa0,a1の前にaを追加しても
a1以降も無限に続いてて
全部対応してるから、答えはあってるってことか

18 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:35:34.881 ID:/XU7KouEa.net
満たされるってのは有限範囲のみ適用される概念で
無限の集合にはないの

19 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:36:33.127 ID:emfRs/4vM.net
みんなが隣の部屋に移ってもらわなくてもいいんじゃないのか？

22 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:38:22.660 ID:/XU7KouEa.net
>>19
これは有限範囲の中での手法で無限に泊まれると言うことを証明しただけ
つまり満室にならないよねってこと

25 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:41:09.297 ID:emfRs/4vM.net
>>22
難しいことはよく分からんのだけど隣に移ってもらってってゆう部分は何の意味もないってこと？
無限の部屋があって全員隣の部屋に移動した意味のとこなんだけど

29 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:45:33.670 ID:/XU7KouEa.net
>>25
数学的表現を文字にしただけじゃね？
有限の満室は「もう泊まれない」って意味と同義だけど
無限の満室は「もう泊まれない」ではない
つまり「無限の満室」は「有限の満室」と違う

って流れ

20 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:36:58.949 ID:ccyAw6wN0.net
「0.999...=1」を認めるなら
「無限の客室が満室になること」も認めなければならない

23 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:39:48.378 ID:0EQEiLBaK.net
満室なのに隣の部屋空いてる時点でウソつきの話

28 ：以下、＼(^o^)／でVIPがお送りします：2017/08/06(日) 13:44:47.468 ID:ccyAw6wN0.net
>>23
空いてないよ
満室だから

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1. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 18:25 ID:uoLFNcSR0

ネズミ講じゃねえか。

2. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 18:28 ID:uTIO.hHS0

ホテル・カルフォルニアなんやろ

3. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 18:37 ID:usEgPjF.0

相部屋にしちゃえよ

4. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 18:39 ID:IhzbPUlQ0

馬鹿は数学の前にまず国語力だなwww

5. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 18:40 ID:ISF2u4k.0

無限ホテルのパラドックスは直感に反するという意味でのパラドックスで、厳密に正しい論理だからや

ホテルとか客って考えると大変だけど
N∪{0} と N の間に全単射が存在するだけの話
(N={1,2,3,…})

よく無限個の部屋があれば無限人の人が泊まれるみたいなことを書く人がいるけどそれは嘘。
泊まる人全体の集合の濃度が部屋全部からなる集合の濃度よりも大きければ、留まれない人もでてくる。

6. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 18:43 ID:ISF2u4k.0

>>12、>>26くらいしか正しいこと書いてないから読む他は価値ないぞ

無限ホテルのパラドックスはZF公理系が無矛盾であるかぎり矛盾なんて起きてない

あと 1=0.9999…は実数の連続性からの帰結だから、
今回の話とはなんの関係もない

7. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 18:45 ID:pCMQe8.a0

こないだ同じネタのスレ立ってたけど立てたのも同じやつかな？

8. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 18:47 ID:gU95a4IF0

※1
そうだね。
でも参加者が無限にいるなら、ネズミ講は破綻しないって話でもある。

9. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 18:54 ID:9yD3n0IC0

例え話は詳しくない人にわかりやすくする一方、話が本質から外れる危険性があるという良い例だな。
頭の良い人はわかりやすく説明する、と言われるが、実のところ馬鹿をわかった気にさせる能力に長けてるだけという可能性も常にある。

10. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 18:58 ID:YkxsVIf80

∞＋１＝∞
増えているように見えても増えてないのが∞という表現って感じか？

11. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 18:58 ID:MZwJgVk30

アカデミックな話題になるとコメが伸びない「まとめたニュース」

12. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 19:07 ID:5hGKnpOj0

「満室」を数学的に定義しないと話が始まらない

13. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 19:12 ID:gQUxuWF80

こういう数学の問題って結局は定義の問題になるんだよね

14. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 19:17 ID:aQwpwkqg0

全員が全員隣の部屋に移ってくれると思うな
セックルしてたらどうすんねん

15. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 19:31 ID:0WR3LSoV0

※10
∞(無限大)ってのは特定の値じゃなくて、「いくらでも増えていく状態」を表してるんだよ。
だから何らかの定数を足しても飲み込まれてしまう。
よって ∞+1=∞ も成立

16. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 19:32 ID:z50Oh8aJ0

無限にも大小あるんだからそこを理解しようぜ・・・

① 全ての自然数の和
② 全ての偶数の自然数の和

どちらも無限ではあるが、①は②を包含的に有してるのはすぐわかるだろ？

17. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 19:43 ID:ISF2u4k.0

※15は間違い
※15の書く∞は極限の無限大であって、無限ホテルでいう∞(集合の濃度の無限大)とは完全な別概念

無限大の種類は他にも超準解析の無限大とか、帰納の無限大とか色々あるから、
すべてを無限大で括って考えるのは愚の骨頂。

※16も間違い①が②を包括するなんて事実はない

そもそも無限ホテルの話では自然数の和(級数)なんて考える意味がない。
級数は極限の無限大だから無限ホテルの無限大とは別概念。

ちなみに無限ホテルの無限大(集合の濃度の無限大)は自然数全体も正の偶数全体も等しい。
それどころ自然数全体と有理数全体も濃度等しい。
でも自然数全体の集合と実数全体の集合の濃度は異なる。

18. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 19:46 ID:ISF2u4k.0

※12
この場合の「満室」は「すべての部屋に人が停まっている」という意味。

「これ以上は人が泊まれない」という意味ではないことに注意。
「これ以上は人が泊まれない」という状態は無限ホテルでは起こり得ないから、
定義としてwell-definedじゃない。

19. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 19:53 ID:VsccilzP0

満室なら一番後ろの部屋の客は移動できないじゃん

20. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 20:00 ID:tPjIPSZc0

有名な１＋２＋３＋、、、、無限大＝－１／１２
厳密には違うとか、色々と突っ込みはあるだろうけど、無限大は不思議な事がおこる。

21. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 20:01 ID:9E.6wmjH0

無限ホテルでは一番後ろの部屋なんて概念はない。
定義しようとすると矛盾が生じる。

22. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 20:02 ID:axLlut9B0

∞(人)÷∞(部屋)＝1＝満室
こうじゃね

23. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 20:08 ID:sLQDPYqC0

プラス1も無限の内。

24. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 20:12 ID:m5.v7P2e0

無限の宿がどれだけ人が来ても泊まれる宿なら、
無限の客はどれだけ部屋があっても泊まれないという矛盾

25. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 20:12 ID:EwHoX4Q70

※2
マジレスするとホテル・カリフォルニアじゃなくてホテル・ヒルベルト

26. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 20:15 ID:sUWQPIPW0

「満室」の定義が、「すでに泊まっている客が部屋を移動することに制限はないが、そのままでは新たな客を止めることはできない」ってことか。

つまり、新しい部屋にいきなりは、満室だから駄目よ。

などと考えてみたり。

バツイチとは結婚できるが、初婚は無理、みたいな。

27. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 20:19 ID:ecj.1KiQ0

ま、こんなこと考えるだけ時間の無駄だわな

28. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 20:33 ID:aKZjZljY0

コレは無理矢理すぎひん？
満室なら無限じゃないの押し問答じゃん

29. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 20:58 ID:b4KWpgLs0

微分っぽい考え方だな
1個のケーキを半分にしその半分のケーキを半分にするループをすれば無限にケーキが食べられるとか
と一緒だな

30. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 21:09 ID:7epzG29.0

さよならパラド

31. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 21:32 ID:SohxxQnD0

無限-無限って0なん？

32. 名前名無し 2017年08月06日 21:37 ID:VWBL8twd0

ホテルの部屋が無限ならそもそも満室になんてならないと思う
自分は馬鹿なんだろうなあとは思う

33. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 21:38 ID:X.ILPAvK0

1/3×３＝１と1/3＝0､33333････×３＝0､99999････の
意味がわからないとこれは理解できない

34. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 21:39 ID:omWjn0D10

全員が隣に移動すれば1室空くんだったら、はじめから反対の端は空いてるはずだろ

35. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 21:46 ID:BQt27FJN0

無限に部屋あるなら、ずれてもらう必要無いんでね？

36. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 22:06 ID:xOhaf8wE0

そもそも無限は四則演算できない

37. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 22:25 ID:jAmUjoIT0

無限の客がチェックインする為に要する時間も無限では無いのか？
+1の客が来ても無限の客が全員チェックインするまで待ってもらうことになるな

38. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 22:37 ID:aw6mVlan0

まず、「無限とはどういうことか」ということについていろんな立場がある。
そこを知らずにあーだこーだ言ってもそりゃ話は一向にまとまらないよ。

39. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 22:54 ID:OWhgFJ000

満室って言葉がなければまぁまぁ面白い
満室は明らかな嘘だから前提に入れちゃだめでしょ

40. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 22:55 ID:m5HADM7C0

「パラドックス」は、「前提が間違ってることの総称」じゃない。

41. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 23:10 ID:qyvHkbgW0

部屋の番号いじったら「満室」を維持したまま客を追い出せるな

42. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 23:17 ID:3ZKAJ.e70

1000円飲み放題の店で2000円分飲ませろ！みたいなもんか？

43. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 23:21 ID:PP.Z.QnS0

現実の日本では有限の人口に無限の賃貸を作り出す会社があるけどね

44. 名前名無しさん＠まとめたニュース 2017年08月06日 23:43 ID:g5o5CIoB0

満室ってところはまずくないぞ
そこに噛みついてるのはたぶんこの前のスレで誤解した人かな？

「全ての部屋に宿泊客がいる」という状態を前提にしてるから「満室」で間違いない。（これを満室と呼ばないならばなんなのか）
部屋番号を自然数にして、泊ってる客にも同じ番号を振れば、部屋と客が一対一対応しているのがわかる。この「部屋と客が一対一対応」というのが満室（しかも客も余ってない）という状態。
そこに1人来たから、「自然数全体＋1」の人数になっているので、さて「自然数全体（部屋数）」と「自然数全体＋1（人数）」は一対一対応できるでしょうか？という問題が本質なんだよ。

そして「一対一対応できる」というのが正しい答えで、それを具体例に落とし込んだのがこの問題。
同じように、「自然数全体」と「自然数全体の2倍」なんかも一対一対応できる。（>>8参照）

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